foto1
foto1
foto1
foto1
foto1

Добыча нефти и газа

Изучаем тонкости нефтегазового дела ВМЕСТЕ!

Уравнения течения для пористой среды

2.1.1. Общая система уравнений

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

·     уравнение неразрывности

;                                                                      (2.1)

·     уравнение движения в форме Дарси

,                                                                         (2.2)

где р*=р+zr`g,  r u=dG / dt, G - расход массы жидкости в единицу времени через поверхность равного потенциала (массовый дебит).

В приведённой системе уравнений k=const, h=const, т.е. среда изотропна. Для анизотропной среды слоистой структуры систему координат направляют по главным осям пласта, т.е. ось z - перпендикулярна слоям, а x, y - по плоскости слоя. В такой среде чаще рассматривают фильтрацию в предельных случаях: kz=0 и kz=¥. При kz=0  - нет перетока газа через слои, а при kz=¥  - dp / dz=0, т.е. давление в каждом поперечном сечении распределяется гидростатически, а компоненты скорости, параллельные х, у, распределены равномерно по поперечному сечению потока.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившимся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся  фильтрации  и уравнение неразрывности примет вид

,                                                                                 (2.3)

где ;

(a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; в сферических координатах - угол Q определяет изменение меридианного угла, а угол j - широтного.

Для несжимаемой жидкости (r=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

.                                                                                   (2.4)

 

2.1.2. Уравнения потенциального движения

 

Потенциальным течением будем называть  течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно,  потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция

.                                                                        (2.5)

Равенство (2.5) можно переписать в виде

                                                                                (2.6)

или, учитывая закон Дарси,

.                                                                            (2.7)

 

Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации; gradj - градиент потенциала j, направленный в сторону быстрейшего возрастания  j,

;

 

(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k , eQ , ej , er , ez - единичные векторы по осям координат x, y, z , Q, j, r  и z (цилиндрическая система ).

Уравнение (2.7)  - это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

 Подставляя (2.7)в (2.1), получаем

,                                                                                (2.8)

а для установившегося течения

.                                                                                      (2.9)

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два  практически важных свойства:

*  сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;

*   произведение частного решения на константу - также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений.

 В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

  ,

 

где (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.

 

Статистика



Яндекс.Метрика