Исследование одномерных течений

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

 

При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:

1)  галереи (для прямолинейно- параллельного потока);

2)  центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоскорадиального потока);

3)  центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

В случае одномерного потока пласт представляется укрупнённой трубкой тока, а из условия неразрывности потока (уравнение 2.3) следует, что при установившейся одномерной фильтрации массовый расход G через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом

 r u= G /F( r ),                                                                         (3.2)

где F=F( r ) – площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности.

Определим величину площади F для различных видов  одномерных потоков:

Ø прямолинейно-параллельный поток  – F( r )=Bh;

Ø плоскорадиальный  поток                   – F( r ) =2p h r;

Ø радиально-сферический поток           – F( r ) = 2p r2.

Обратившись к уравнению (2.7) следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, т.е. галерея или скважина – эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получаем общее дифференциальное  уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока:

,                                                                                 (3.3)

где А и j имеют  следующие значения:                     

Ø прямолинейно-параллельный поток  – A = Bh,   j = 0;

Ø плоскорадиальный  поток                   – A =2p h, j = 1;

Ø радиально-сферический поток           – A = 2p,    j = 2.

Параметр j получил название показателя формы потока, т.к. характеризует вид одномерного течения.

Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим:

,                                                                       (3.4)

где С – произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

Из формулы (3.4) следует, что она верна при значениях j=0;2. При j=1 (плоскорадиальный поток) интегрирование (3.3) даёт

.                                                                       (3.5)

Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т.е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи.

1.   Известны: постоянный массовый дебит G и значение потенциала j  на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины (G = G0 = const,  j =  j к  при   r = rк ).

Подставляя данные значения в (3.4), получаем:

.                                                            (3.6)

Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита G = G0 = const.

2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Т.о. j = j с  при   r = rc ;   j =  j к  при   r = Rк . Подставляя в равенство (3.4) один раз значения Rк  и  j к, а другой раз значения j с и rc, и исключая  из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G или объёмный дебит Q:

                                                             (3.7)

где значения А и j приведены выше.

Исключая из (3.6) величину G / A, при помощи формулы (3.7) получаем:

   .                                                        (3.8)

По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит неизвестен.

В случае плоскорадиального потока (j = 1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

                                                                    (3.9)

                                                                  (3.10)

Таким образом, формулы (3.9), (3.10) действительны только для плоскорадиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одномерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3).

В предыдущем разделе были получены соотношения, определяющие массовый дебит (3.7, 3.9),  распределения потенциала (3.8, 3.10) и градиента потенциала (3.3). В то же время для задач исследования необходимо определение объёмного дебита, давления и скорости фильтрации. В связи с этим, определим выражения потенциальной функции

                                                                         (2.5)

для случаев флюидов (табл.3.1) различной физической природы (жидкость или газ), а также различных типов коллекторов (пористые или трещиноватые).

Таблица 3.1

№	Вид коллектора	Характеристики	Вид флюида	Характеристики	Потенциал
1	Недеформируемый (пористый) пласт	k=const	Несжимаемая жидкость	r=const; μ=const
2	Трещиноватый (деформируемый) пласт	смотри 2*, b* ≈ 0,01.10-5 -0,006.10-5 м2/н.	Несжимаемая жидкость	r=const; μ =const
3	Недеформируемый (пористый) пласт	k=const	Упругая жидкость	; μ =const;
4	Недеформируемый (пористый) пласт	k=const	Совершенный газ	r = rcт р/ рст   –  изотермическое течение; μ =const
5	Недеформируемый (пористый) пласт	k=const	Реальный газ	р=zr R T – общий случай; μ =const;  – изотермическое течение	, где ; для средних μ и z

2* –

Анализ основных видов одномерного течения по закону Дарси

Для практического  исследования фильтрационных потоков необходимо знать распределение не абстрактной функции – потенциала, а конкретных физических параметров – давления, скорости, закона движения и т.д. Следовательно, необходим переход от зависимостей (3.3, 3.7-3.10) к зависимостям, определяющим выше перечисленные параметры при использовании, приведенных в  разделе 3.2.3.  выражений для потенциальной функции.

Течение несжимаемой жидкости через

недеформируемый (пористый) пласт

• прямолинейно-параллельное (j=0, А=Вh, F=A),
• радиально-сферическое (j=2, А=2πh, F=2πr2h):

 ;  ,  где;

·        плоско-радиальное (F=2πhr):  ; , где ;

Средневзвешенное давление ;

Уравнение движения  – интегрируем  по времени от 0 до t и по расстоянию от R0 до r, где R0 – начальное положение частицы флюида.

Таблица 3.2

№	1	2	3
закон фильтрации вид течения	прямолинейно-параллельное	плоско-радиальное	радиально-сферическое
Распределение давления			, где
Градиент давления
Уравнение притока
Уравнение движения
средневзвешенное давление	, т.к.	, т.к.	, т.к.

При выводе соотношения для средневзвешенного давления в случае плоско-радиального течения  интеграл не берется в конечном виде. Поэтому подинтегральное выражение приводится к виду  и раскладывается в ряд Тейлора. Беря первые два члена ряда, а именно, 1 –х/2 получаем выражение, которое можно интегрировать по частям. После пренебрежения членами с r2c  получаем выше приведенное соотношение.

Уравнение притока в случае плоско-радиального течения получило название соотношения Дюпюи.

Анализ: Плоско-радиальное течение.

1.   Дебит не зависит от r, а только от депрессии d рк. График зависимости Q  от d рк  (рис.3.4) называется индикаторной  диаграммой, а сама зависимость – индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины

                               (3.11)

2. Градиент давления  и, следовательно, скорость u обратно пропорциональны расстоянию (рис.3.5) и образуют гиперболу с резким  возрастанием значений при приближении к забою.

3. Графиком зависимости р=р(r) является логарифмическая кривая (рис.3.6), вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая  воронкой депрессии. Отсюда, основное влияние на дебит оказывает состояние призабойной зоны, что и обеспечивает эффективность методов интенсификации притока.

4. Изобары – концентрические, цилиндрические поверхности, ортогональные траекториям.

5. Дебит слабо зависит от величины радиуса контура rк для достаточно больших значений rк /rc,  т.к. rк /rc входят в формулу под знаком логарифма.

3.2.4.2. Течение совершенного газа через недеформируемый пласт

·        прямолинейно-параллельное (j=0, А=Вh, F=A),

·        радиально-сферическое (j=2, А=2πh, F=2πr2h):

;  ,  где;

·        плоско-радиальное (F=2πhr):

 ; , где ;

Средневзвешенное давление ;

Уравнение движения  – интегрируем  по времени от 0 до t и по расстоянию от R0 до r, где R0 – начальное положение частицы флюида.

Таблица 3.3

При выводе средневзвешенного давления для плоско-радиального течения  интеграл не берется в конечном виде. Поэтому подинтегральное выражение приводится к виду  и раскладывается в ряд Тейлора. Беря первые два члена ряда 1 –х/2 получаем выражение, которое можно интегрировать по частям. после пренебрежения членами с r2c  получаем выше приведенное соотношение.