При очень малых перепадах течение жидкостей в пластах, как отмечалось ранее, не подчиняется закону Дарси и поведение жидкости аномально. Данная аномальность связана с физико-химическим взаимодействием фильтрующихся жидкостей с материалом пористой среды, а сами жидкости при этом получили название неньютоновские.
Кроме этого, наличие нелинейной связи тензора скоростей деформации с тензором напряжения может проявляться и в ряде других случаев. Так повышенное содержание в нефтях высокомолекулярных компонентов (смол, парафина) приводит к проявлению неньютоновских свойств флюидов при их фильтрации, т.е. появлению предельного напряжения сдвига.
Развитие методов воздействия на природные залежи с целью увеличения и приводит к значительному расширению ассортимента веществ, закачиваемых в продуктивные пласты. Многие из этих веществ (высокомолекулярные соединения, полимеры) не обладают свойствами ньютоновских жидкостей. Поэтому рассмотрение особенностей фильтрации неньютоновских систем приобретает самостоятельное значени.
Для простоты будем рассматривать нелинейные законы фильтрации, описывающие только безинерционные движения при условии, что фильтрующиеся жидкости обладают неньютоновскими свойствами.
6.1. Реологические модели фильтрующихся жидкостей и
нелинейные законы фильтрации
Течение ньютоновской жидкости описывается законом Ньютона:
, (6.1)
где m – -динамический коэффициент, t- касательное напряжение; du/dy – градиент скорости в направлении перпендикулярном направлению течения х. Зависимость между t и du/dy является в этом случае прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 6.1, кривая 2).
Жидкости, не подчиняющиеся закону трения (6.1), называются аномальными или неньютоновскими. Неньютоновские жидкости можно разбить на три класса.
1. Стационарно реологические жидкости – касательное напряжение зависит только от градиента скорости:
. (6.2)
|
Рис. 6.1. Зависимость касательного напряжения t от градиента скорости: жидкость: 1 – дилатантная; 2 – неньютоновская; 3 – псевдопластичная; 4 – вязкопластичная |
2. Нестационарно реологические жидкости – связь между t и du/dy зависит от времени действия напряжений
. (6.3)
Вязкоупругие жидкости – среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. Для таких сред зависимость между касательными напряжениями и градиентом скорости более сложная; она включает производные по времени как напряжений, так и градиента скорости.
Среди неньютоновских жидкостей первого класса, описываемых уравнением (6.2), можно выделить три типа:
1. Вязкопластичные жидкости, для которых уравнение (6.2) имеет вид:
при t>t0 , (6.4)
при t£t0 .
Графическое представление этой зависимости, называемое реологической кривой, приведено на рис. 6.1 (кривая 4). В равенство (6.3), кроме коэффициента вязкости m, входит также постоянная 0, называемая начальным (или предельным) напряжением сдвига. Считается, что при t£t0 жидкость ведет себя как твердое тело и течение отсутствует. Это объясняется наличием у покоящейся жидкости пространственной жесткой структуры, сопротивляющейся любому напряжению t, меньшему 0. Когда t становится больше t0 , структура разрушается.
2. Псевдопластичные жидкости. Эксперименты показали, что для ряда сред связь между напряжением сдвига и градиентом скорости в логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной с угловым коэффициентом от 0 до 1. Поэтому для описания таких сред используется степенная зависимость
, (n < 1), (6.5)
где и n постоянны для данной жидкости; коэффициент k – мера консистенции жидкости; отличие показателя n от единицы характеризует степень отклонения данной жидкости от ньютоновской. Типичная реологическая кривая (6.4) псевдопластичной жидкости приведена на рис. 6.1 (кривая 3). Модель псевдопластичной жидкости применяется, в частности, для описания движения растворов и расплавов полимеров.
Указанные реологические соотношения можно привести к ньютоновскому виду путем введения понятия кажущейся вязкости m*, как отношения касательного напряжения к градиенту скорости:
.
Для псевдопластичной жидкости, как следует из (6.4), эта величина 
и так как n<:1, то m* убывает с возрастанием градиента скорости.
3. Дилатантные жидкости описываются степенным уравнением (6.4), но при n>1. Кривая течения представлена на рис. 6.1 (кривая 1). У этих жидкостей кажущаяся вязкость m* увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель дилатантной жидкости хорошо описывает свойства суспензий с большим содержанием твердой фазы.
В зависимости от вида неньютоновской жидкости по разному записывается и закон фильтрации. Так закон фильтрации вязкопластичной жидкости (6.3) в пористой среде записывается в виде:
u>0; (6.6)
, u=0, где 
– (6.7)
предельный (начальный) градиент.
|
Рис. 6.2. Индикаторные линии: 1 – линенйная аппроксимация неньютоновской жидкости; 2 – реальная неньютоновская жидкость; 3 – течение по закону Дарси |
В соответствии с (6.5) скорость фильтрации u отлична от нуля только в тех областях, где ½gradp½>g (рис. 6.2, кривая 1). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рис. 6.2. Для сравнения на рис. 6.2 показан закон Дарси (кривая 3).
В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат различные физические механизмы, но все неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т. е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов.
Так в пластах со слоистой неоднородностью предельные градиенты различны для разных пропластков – чем больше проницаемость, тем меньше предельный градиент g, и наоборот. В связи с этим, пропластки будут последовательно включаться в работу по мере превышения градиента давления предельного градиента сдвига.
Наряду с рассмотренным законом фильтрации (6.6), описывающим течение вязкопластичной жидкости в пористой среде, рассматривают степенной закон фильтрации:
, (6.8)
где С — экспериментальная константа; n>0.
Степенной закон, соответствующий псевдопластичному флюиду (6.4), хорошо описывает движение растворов полимеров в пористой среде и используется при расчете “полимерного” заводнения пластов с целью повышения их нефтеотдачи.
6.2. Одномерные задачи фильтрации вязкопластичной жидкости
Движение аномальных нефтей в пластах по закону (6.5) приводит к существенным особенностям разработки этих пластов, не встречающимся в случае фильтрации по закону Дарси.
Установившееся течение вязкопластичной жидкости . Рассмотрим плоскорадиальный приток к скважине при условии выполнения соотношения (6.4):
(u>0); (6.9)
, (u=0).
Решая (6.9) относительно скорости и переходя к дебиту, получим формулу притока, обобщающую формулу Дюпюи:
, если 
.
u=0,если dp/dr£g. (6.10)
Считая давления на забое скважины и на границе пласта постоянными (р(rc)=рc; р(Rк)=рк ), после интегрирования (6.10) находим:
, (6.11)
(6.12)
|
Рис. 6.3. Индикаторные линии при плоскорадиальном течении вязкоплоастичной жидкости: а – однослойный пласт; b – трёхслойный пласт |
Формулы (6.11), (6.12) представляют, соответственно, распределение давления в пласте и дебит скважины. Из формулы (6.11) видно, что часть разности давлений в виде линейного слагаемого с угловым коэффициентом g теряется на преодоление предельного градиента сдвига. При Q®0, как следует из (6.11), давление не постоянно (как в случае фильтрации по закону Дарси), а изменяется по линейному закону. При тех же условиях наличие предельного градиента давления в пласте ведет к уменьшению дебита скважины по сравнению с фильтрацией по закону Дарси (формула Дюпюи), а индикаторная линия скважины Q(Dрс) – прямолинейная, но не проходит через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный gRк (рис. 6.3а).
В случае слоистого пласта с гидродинамически изолированными пропластками, т. е. при отсутствии перетоков между слоями с разными проницаемостями, для дебита в каждом пропластке справедлива формула (6.12), но своими значениями толщин, проницаемости и начального градиента. Индикаторная линия в этом случае представляется ломаной (рис. 6.3b).
Неустановившаяся фильтрация вязкопластичной жидкости. Дифференциальные уравнения для определения давления при упругом режиме работы пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом (6.5) уравнениями неразрывности и состояния флюида. Описанным в разделе 5 подходе получим следующее уравнение пьезопроводности:
, (6.13)
где k — коэффициент пьезопроводности.
Уравнение (6.13) служит основой для построения нелинейной теории упругого режима вязкоупругой жидкости. Вместе с тем следует иметь в виду, что при решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет границы пласта) модуль градиента давления должен равняться предельному градиенту g, а давление – начальному пластовому.
Если рассмотреть задачу о пуске скважины с постоянным дебитом при фильтрации вязкопластичной жидкости с предельным градиентом, то получим из решения уравнения (6.13) следующую зависимость забойного давления от времени:
. (6.14)
В данной формуле логарифмический член играет основную роль при малом времени, когда преобладают упругие силы. При больших значениях времени закон движения границы возмущенной области подчиняется степенному закону. Таким образом, при некоторых значениях параметров оказывается, что основное значение имеет степенной член, так что закон падения давления на забое скважины изменяется с логарифмического на степенной. Следовательно, при больших временах вид кривых изменения забойного давления рс(t) при фильтрации с предельным градиентом существенно изменяется по сравнению с фильтрацией упругой жидкости, что позволяет обнаружить в пластовых условиях проявление предельного градиента давления.