В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать её характерные особенности :
1) моделирование связано с порами разных масштабов (среда 1 – роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен – пористые блоки; среда 2 – обычная пористая среда, образующая блоки);
2) между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.
При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.
Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:
. (2.10)
Для жидкости в пористых блоках
. (2.11)
Здесь q1,2 – масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL-3T-1, где М – размерность массы, L – расстояния и Т – времени).
Будем полагать, что q1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред
q1,2=Q (j2 – j1), (2.12)
где Q – коэффициент переноса, размерности L-2.
Для чисто трещиноватого пласта считаем q1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р1=р2=р получаем
(2.13)
Для чисто трещинного пласта
. (2.14)
2.3. Начальные и граничные условия
Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для потенциала.
2.3.1. Начальные условия
j = jо(x,y,z) при t = 0, (2.15)
если при t = 0 пласт не возмущён, то j = jо = const.
2.3.2. Граничные условия
Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).
А) Внешняя граница Г
1)постоянный потенциал j(Г,t)=jк=const, (2.16)
т.е. граница является контуром питания;
2) постоянный переток массы через границу G = Fr`u = const, т.е. используя уравнение (2.7)
(2.17)
3) переменный поток массы через границу
(2.18)
4) замкнутая внешняя граница
(2.19)
5) бесконечный пласт
limx®¥ j(Г,t) = jк = const. (2.20)
y®¥
В) Внутренняя граница
1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса rc
j(rc , t)=jc=const ; (2.21)
2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)
; (2.22)
3) переменный потенциал на забое
j(rc ,t)=f2(t) при r=rc; (2.23)
4) переменный массовый дебит
; (2.24)
5) неработающая скважина
(2.25)
Основные граничные условия – А1, А5 и В1, В2.