При разработке нефтегазовых месторождений часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважин, с изменением темпов отбора флюидов из скважин. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрации, дебитов скважин и т.д. Особенности данных процессов зависят от упругих свойств пластов и жидкостей, т.е. основная форма пластовой энергии – энергия упругой деформации жидкостей и материала пласта.
Упругий режим характеризуется двумя особенностями:
* неустановившимися процессами перераспределения давления в пласте;
* изменением упругого запаса жидкости в пласте.
При упругом режиме движение возникает в призабойной зоне в начале эксплуатации скважины за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости и только через некоторое время оно распространяется на более отдалённые области.
При снижении пластового давления объём сжатой жидкости увеличивается, а объём порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Всё это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину.
В ряде случаев приток жидкости поддерживается за счет напора воды, поступающей извне. Такой режим называется упруговодонапорным.
Если залежи нефти ограничены либо зонами выклинивания, либо экранами, то режим называется замкнуто-упругим. В начальной стадии разработки такой залежи до тех пор, пока пластовое давление не снизилось ниже давления насыщения, имеет место замкнуто-упругий режим фильтрации.
Если вытеснение жидкости из пласта происходит не под действием преобладающего влияния упругости пласта и жидкости, то упруговодонапорный режим переходит в жестко-водонапорный режим. При этом режиме влияние упругости пласта и жидкости на фильтрационный поток хотя и не прекращается, но заметно не проявляется.
Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта k, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости m и коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.
4.1.2. Основные параметры теории упругого режима
Важнейшими параметрами теории упругого режима являются коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.
Коэффициент объёмной упругости жидкости bж характеризует податливость жидкости изменению её объёма и показывает, на какую часть первоначального объёма изменяется объём жидкости при изменении давления на единицу
, (4.1)
где tж – объём жидкости; знак минус указывает на то, что объём tж увеличивается с уменьшением давления; bж нефти находится в пределах (7-30)10-10м2/н; bж воды находится в пределах (2,7-5)10-10м2/н.
Коэффициент объёмной упругости пласта определяется по формуле
, (4.2)
где tп – объём пласта; m – пористость; bС слабо и сильно сцементированных горных пород находится в пределах (0,3-2)10-10м2/н.
Большое значение в практике добычи нефти и подсчета её запасов имеет величина упругого запаса выделенной области пласта, соответствующая заданному падению давления. По Щелкачеву упругий запас – это количество жидкости, высвобождающейся в процессе отбора из некоторой области пласта при снижении пластового давления до заданной величины, если высвобождение происходит за счет объёмного расширения жидкости и уменьшения порового пространства пласта.
Обозначая упругий запас через Dtз , получаем по определению
Dtз = bжt0жDр + bсt0Dр, (4.3)
где t0ж – объём жидкости, насыщающей элемент объёма пласта t0 при начальном давлении р0; Dр – изменение давления.
Так как t0ж = mt0, то
Dtз=b*t0Dр. (4.4)
Здесь b* = mbж + bс – коэффициент упругоёмкости пласта, показывающий долю объема жидкости от выделенного элемента объема пласта, высвобождающейся из элемента пласта при снижении давления на единицу.
Вскрытие пласта и изменение режима работы скважины вызывает возмущение в пласте. От источника возмущения оно передаётся во все стороны пласта с какой-то скоростью. Скорость распространения изменения пластового давления характеризуется коэффициентом пьезопроводности пласта
. (4.5)
Здесь L, T –размерности длины и времени.
В коллекторах – 1000см2/с £ k £ 50000см2/c или 0.1м2/с £k £5м2/c.
Степень нестационарности процессов определяется безразмерными параметрами Фурье:
для призабойной зоны – 
; (4.6)
для всего пласта 
, (4.7)
где t – время.
4.1.3. Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости (уравнение пьезопроводности)
Считаем, что течение происходит по закону Дарси, и уравнение состояния упругой жидкости в линеаризованной постановке, которое получим из соотношения (2.27) разложением экспоненты в ряд Тейлора, имеет вид
, (4.8)
а также изменение пористости в зависимости от давления, полученное линеаризацией соотношения (2.34), описывается зависимостью
. (4.9)
Из (4.9) и очевидного соотношения 
имеем следующее дифференциальное уравнение для пористости, при пренебрежении членом, содержащим произведение bжbс
. (4.10)
В то же время из общего уравнения фильтрации (2.8) 
.
Приравнивая правые части, с учетом выражения для потенциала 
, и пренебрегая членом, содержащим (р-р0)2, получим
. (4.11)
Уравнение типа (4.11) известно под названием уравнения теплопроводности, а в теории фильтрации называется уравнением пьезопроводности. По аналогии с уравнением теплопроводности коэффициент k характеризует быстроту распределения давления в пласте и носит название коэффициент пьезопроводности. Само уравнение (4.11) позволяет определить поле давления при нестационарных процессах в пласте с упругим режимом.
4.1.4. Приток к скважине в пласте неограниченных размеров
4.1.4.1. Вывод основного уравнения упругого режима
Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина).
Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившемся, плоском радиальном движении жидкости. Для этого запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат
. (4.12)
Предположим, что возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t/ . Для этого случая решение уравнения (4.12) имеет вид
, (4.13)
где А и С – некоторые постоянные.
Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t = t/ давление в пласте было р = рк = const. Тогда при r > 0 и при t = t/ второй член правой части обращается в неопределённость типа ¥/¥ и определяется по правилу Лопиталя, что даёт С = рк. Таким образом,
. (4.14)
Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (4.4) для определения объёма высвобождающейся жидкости для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной h и шириной dr, а также учтем падение давления Dр = p0 – p по (4.14):
dtз = b*Dрdt0 = 
. (4.15)
После интегрирования (4.15) в пределах от 0 до ¥ получим объём жидкости t2 , выделившейся из всего пласта и, следовательно, определим коэффициент А:
. (4.16)
Таким образом в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением:
. (4.17)
Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q = Q0 в течение времени dt/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём
dt2 = Qdt/ и, следовательно, из (4.17) следует
. (4.18)
Интеграл правой части носит название интегрально-показательной функции
и с учетом данного обозначения решение для изменения давления запишется в виде
. (4.19)
Формула (4.19) является основной формулой теории упругого режима пласта.
|
Рис. 4.1. График интегрально – показательной функции |
Интегрально-показательная функция имеет вид (рис.4.1) и обладает следующими свойствами:
* -Ei(-u) изменяется от 0 до ¥ при изменении аргумента от 0 до ¥;
* функция -Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда
(4.20)
Для малых значений u<1 можно принять
, (4.21)
с погрешностью, не превышающей 0,25% при u < 0,01; 5,7% – при
u < 0,1.
. (4.22)
С учетом соотношения (4.21) основное уравнение (4.19) перепишется в виде, которое более известно под названием уравнение кривой восстановления давления (КВД)
. (4.23)
|
Рис. 4.2. Пьезометрические кривые при пуске скважины в бесконечном пласте с постоянным дебитом
|
Полученную зависимость можно использовать при числе Фурье 
с погрешностью, не превышающей 0,6%. Практически это означает, что уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (4.23), будут иметь погрешность не превышающую 0,6%. Формулу (4.23) можно использовать и для расчета падения давления в конечном пласте, а именно, погрешность расчета давления при этом не превышает 1%, если rк > 1000rc и fo < 3,4.105 или Fo < 0,34.
Рассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса rc c постоянным дебитом Q0 (рис.4.2). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (4.23), а дифференцируя её по координате r, найдём градиент давления
.
Из этой формулы следует, что градиент давления для значений r, удовлетворяющих неравенству r2<<0,03.4kt, практически не зависит от времени и определяется по той же формуле, что для установившейся плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости. Для указанных значений r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (рис.4.2). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.
4.1.4.2. Анализ основной формулы теории упругого режима
Основная формула (4.19) или (4.23) строго говоря справедлива лишь для точечного стока, т.е. при rс=0. Практические расчеты показывают, что ей можно пользоваться даже для укрупнённых скважин (rс~1км) и нельзя использовать только в первые доли секунды после пуска скважины. Если скважина укрупнённая, то формула (4.23) может дать большую погрешность лишь вблизи от её стенки (контура). Чем дальше отстоит от этого контура точка, в которой определяется давление, и чем больше времени прошло с момента пуска укрупнённой скважины, тем меньше погрешность.
Анализ формулы (4.23) показывает, что вскоре после пуска скважины вокруг неё начинает непрерывно увеличиваться область пласта (рис.4.2), в которой для каждого момента времени давление распределяется так, как и при установившемся движении, т.е. давление оказывается квазиустановившимся и пьезометрические кривые будут кривыми логарифмического типа.
Из (4.23) следует, что градиент давления, расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r и скорость фильтрации определяются соотношениями:
(4.24)
Из данных соотношений следует, что стационарная скорость 
достигается очень быстро на небольших расстояниях от скважины, так как значение коэффициента пьезопроводности велико.
4.1.4.3. Приток к скважине в пласте конечных размеров в условиях упруго-водонапорного и замкнуто- упругого режима
Круглый горизонтальный пласт с открытой внешней границей
|
a b
Рис. 4.3. . Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей: а – с постоянным дебитом; b – с постоянным забойным давлением рс |
Постоянный дебит. Пусть пласт имеет внешнюю границу радиусом rк, через которую может поступать вода при истощении упругого запаса. В центре пласта имеется скважина радиусом rс, которая мгновенно запускается в эксплуатацию с постоянным дебитом Q0. Перед пуском скважины давление в пласте было рк.
Для определения давления используем полученную ранее зависимость
, (4.19)
для неограниченного пласта и формулу Дюпюи
(4.25)
для установившегося плоскорадиального потока. В результате совместного решения данных зависимостей получим следующую приближённую формулу
, (4.26)
|
Рис. 4.4. Изменение дебита скважины с течением времени при постоянном забойном давлении рс |
где ру – установившееся давление в любой точке пласта или в реагирующей бездействующей скважине (давление ру соответствует времени t = ¥ или Fo = ¥ ).
Изменение пьезометрической кривой в различные моменты времени после пуска скважины с постоянным дебитом в пласте с круговым контуром питания показано на рис.4.3а.
Постоянное забойное давление. На рис 4.3b изображена в различные моменты времени пьезометрическая кривая после пуска возмущающей скважины с постоянным забойным давлением, на рис.4.4 – изменение дебита скважины с течением времени.
Круглый горизонтальный пласт с закрытой внешней границей
|
Рис. 4.4. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном дебите |
Постоянный дебит. Будем считать дебит скважины постоянным. Пьезометрические кривые падения давления для разных моментов времени показаны на рис. 4.4. С некоторого момента смещение во времени пьезометрической кривой для закрытого пласта происходит так, что все точки её опускаются на одно и тоже расстояние d, т.е. во всех точках пласта давление падает с одной скоростью.
Из рассмотрения рис. 4.3, 4.4. видно, что в условиях упругого режима процесс перераспределения давления, а значит, и процесс взаимодействия скважин развивается постепенно, если же и наблюдается аномально быстрое взаимодействие скважин, то это можно объяснить неоднородностью пластов и их анизотропией.
Кроме того, при пуске или остановке скважины давление вначале меняется быстро, а затем темп изменения давления замедляется.
Если скважина действовала с постоянным дебитом при установившимся потоке и в некоторый момент времени она останавливается, то начинается процесс восстановления давления. Уровень жидкости в скважине начинает подыматься.
Для расчета используются полученные выше формулы для возмущающей скважины, но вместо данных понижения давления в пласте надо подставить данные повышения давления после остановки скважины.
|
|
Постоянное забойное давление. Объемный дебит возмущающей скважины определяется по формуле
(4.27)
а объем жидкости tж, добытой из скважины (в пластовых условиях) за время t с момента пуска скважины равен
.
При больших параметрах Фурье fo объем Qж оказывается равным упругому запасу жидкости в закрытом пласте
tж » tb*(рк-рс). (4.28)
На рис. 4.6 показана пьезометрическая кривая для нескольких моментов времени в закрытом пласте, а на рис. 4.7 изображены две кривые: одна из них характеризует падение дебита скважины с постоянным забойным давлением (кр. 1); другая – рост суммарной добычи жидкости tж (кр.2).
4.1.4.4. Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин нестационарными методами
Различают две группы гидродинамических методов: при установившихся и неустановившихся режимах. Первые связаны с теорией одномерного потенциального течения, а вторые – с теорией упругого режима. После пуска или остановки скважины происходит перераспределение давления, которое можно снять и получить кривую восстановления (КВД) или стабилизации (КСД) давления. На форму данных кривых влияют коллекторские свойства, что дает возможность определения таких параметров как проницаемость и пьезопроводность.
Наиболее распространен метод определения коллекторских свойств по данным о восстановлении забойного давления (КВД) в остановленных скважинах в полулогарифмических координатах (Dр, lnt) на основе зависимости (4.30), записанной относительно забоя скважины в виде
(4.34)
Уравнение (4.34) можно рассматривать как уравнение изменения забойного давления после остановки скважины, работающей до этого с постоянным дебитом Q.
|
Рис. 4.8. Кривая КВД |
Уравнение (4.34) представляет собой прямую (рис. 4.8) в координатах Dрс-lnt, а коэффициент i определяется как тангенс угла её наклона j к оси времени и коэффициент А – как отрезок оси давления, отсекаемый продолжением прямой.
По известным коэффициентам можно определить коллекторские свойства пласта:
· по коэффициенту i определяют гидропроводность пласта
. (4.35)
· Если известна вязкость жидкости в пластовых условиях m и толщина пласта h, то из последней формулы находится коэффициент проницаемости пласта:
. (4.36)
· По известному угловому коэффициенту i = tgj и радиусу rc скважины из коэффициента А можно определить коэффициент пьезопроводности пласта.
Область применения указанных приемов интерпретации результатов исследования нефтяных скважин ограничивается условиями, при которых справедлива формула (4.34), а именно: скважина рассматривается как сток постоянной интенсивности в бесконечном однородном пласте , и возможна мгновенная остановка притока флюида в скважину.
В случае ограниченого пласта, когда изменение давления, вызванное закрытием скважины, доходит до его границы, КВД начинает искажаться, а через достаточно большое время выходит на горизонтальную асимптоту, соответствующую стационарному распределению давления. Поэтому длина прямолинейного участка на кривой КВД ограничена.
Кроме того, в реальных условиях скважину нельзя остановить мгновенно. После её закрытия на устье приток флюида из пласта продолжается ещё некоторое время из-за упругости жидкостей и газов, заполняющих скважину. Время выхода на асимптоту должно, очевидно, превышать время дополнительного притока. Поэтому возможны условия, при которых прямолинейный участок на КВД появляется через значительный промежуток времени, либо даже вообще отсутствует.
На форму КВД сказывается также несовершенство скважины и возможное нарушение закона Дарси у стенок скважины. В этом случае необходимо решение более сложного уравнения пьезопроводности с нелинейными членами и использование приближенных методов расчета коллекторских свойств.