При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.
Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида
Q=`w Fп , (1.15)
где `w – действительная средняя скорость жидкости; Fп – площадь пор.
Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для неупорядочных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности и пористости. Следовательно,
Q=`w m F , (1.16)
Величина
u= `w m (1.17)
называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то и скорость фильтрации всегда меньше средней.
Физический смысл скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором:
· расход через любое сечение равен реальному расходу,
· поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны,
· сила сопротивления фиктивного потока равна реальной.
Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (1.17).
1.3.1.2 . Закон Дарси (линейный закон фильтрации)
В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации – закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н1-Н2 и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой.
Закон Дарси имеет вид
, (1.18)
где с – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости; – напор; р/g – пьезометрическая высота; g – объёмный вес.
Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,
(1.19)
или в векторной форме
, (1.20)
где s – расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.
Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т.е. зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде
(1.21)
или
, (1.22)
где μ – коэффициент динамической вязкости; k – коэффициент проницаемости, характеризующий среду; р=g H – приведённое давление, равное истинному при z=0.
Из сравнения (1.19) и (1.22) имеем
. (1.23)
1.3.1.3. Границы применимости закона Дарси
Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:
a) пористая среда мелкозерниста и поровые каналы достаточно узки;
b) скорость фильтрации и градиент давления малы;
с) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.
При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.
Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=war/μ с его критическим значением Reкр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w -характерная скорость течения: а – характерный геометрический размер пористой среды; r – плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Наиболее часто в нефтегазопромысловой практике применяется зависимость Щелкачёва
(1.24)
Критическое число Рейнольдса Reкр=1-12.
Скорость фильтрации uкр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>uкр соизмеримы с силами трения.
При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси
, (1.25)
представляющим собой отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения.
Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления tн , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом
. (1.26)
1.3.1.4. Законы фильтрации при Re > Reкр
От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи с этим, в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение более общих, нелинейных законов фильтрации. Данные законы разделяются на одночленные и двухчленные.
Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида
(1.27)
где C, n – постоянные, 1£ n £ 2.
Данные зависимости неудобны, так как параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим, наибольшее употребление нашли двучленные зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному, называемому формулой Краснопольского:
(1.27)
Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае
(1.28)
где b – структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением
(1.29)