Уравнение Лейбензона. Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.
Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде
. (4.38)
Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид
. (4.39)
Обозначив р2=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона:
. (4.40)
По внешнему виду уравнение (4.40) не отличается от уравнения пьезопроводности (4.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (4.40) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно.
Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р в b заменяется на некоторое постоянное : Лейбензон предложил замену на рк (начальное давление в пласте); Чарный – на рср=рmin+0,7(pmax-pmin), где pmax и pmin – максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.
При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать Р=р2, k –Þ k/=, Þ .
Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением
. (4.41)
a b Рис. 4.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением времени в фиксированных точках пласта (b) |
При малых значениях r2/(4k/t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической
.(4,42)
Формулы (4.41),(4.42) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации – имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис.4.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.4.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r = rc) после начала работы скважины.
Уравнение (4.42) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений.